توزیع پوآسون و نرمال

توزیع پواسن

متغیرهای تصادفی دو جمله ای و فراهندسی ،‌موفقیت ها را در یك نمونه گیری تعیین می كند. ممكن است در پدیده هایی با روندی از موفقیت ها رو به رو شویم و آگاهی از تعداد موفقیت ها مورد نظر باشد. به مثالهای زیر توجه كنید.

در یك بازی بستكبال گلهایی را كه تیم مورد علاقه به ثمر می رساند، روندی از موفقیت ها به دست می دهد.

تعداد دفعه هایی كه قلاب ماهیگیری مورد حمله های ماهیان قرار می گیرد،‌روندی از موفقیت ها است.

تعداد تصادف ها در جاده ای مورد نظر، روندی از موفقیتها است.

ترسم خطوط اضافی در پارچه بوسیله یك ماشین پارچه بافی، روندی از موفقیت ها را به دست می دهد.

تعداد حبابهای موجود در شیشه های تولیدی یك كارخانه ساخت شیشه، روندی از موفقیت ها است.

مطالعه آماری تعداد موفقیت ها در بخشی از روند مورد نظر، اهمیت دارد. تعداد گلهایی كه تیم مورد علاقه ما در نیمه اول به ثمر می رساند،‌تعداد دفعه هایی كه به قلاب ماهیگیری در یك ساعت حمله می شود، تعداد تصادف های در طول تابستان،‌تعداد خطوط اضافی كه در یك متر مربع ترسیم شده است و سرانجام، تعداد حبابهای موجود در 5 متر مربع شیشه تعداد موفقیت ها در بخشی از روند مربوطه است. نمونه گیری در اینجا به معنی گزینش آن بخش مورد نظر و شمارش تعداد موفقیت ها است. در مثال تعداد حبابها، هر قطعه شیشه 5 متر مربعی از تولید كارخانه یك نمونه به شمار می آید. در صورتی كه X را تعداد موفقیت ها تعریف كنیم، مجموعه مقادیر X

X={و2و1و 0    …}

پیشامد (X=i) بیانگر قطعاتی است كه در هر یك از آنها تعداد i  حباب است،‌ P(X=i) درصد این قطعات را تعیین می كند. تعیین P(X=i) با روش نمونه گیری در عمل ناممكن است. از این رو چگونه می توان P(X=i) را تعیین كرد؟ (در قسمت 5 به این پرسش پاسخ خواهیم داد) به هر حال تابع چگالی زیر P(X=I) را ارائه می دهد.

متغیر تصادفی پوآسن

یك متغیر تصادفی X با مجموعه مقادیر} …و2و1و0 X={ و تابع چگالی

(1-3)

را متغیر تصادفی پواسن با پارامتر  می نامند و در این صورت نمایش  بكار برده می شود. در فرمول (1-3)  ، e عدد نپر است   و  میانگین تعداد موفقیت ها است،‌ . اگر توزیع پواسن بر روندی از موفقیت ها دلالت كند، آنگاه تعداد موفقیت ها در هر بخش از روند از توزیع پواسن پیروی می كند كه پارامتر آن،، مساوی میانگین تعداد موفقیت ها در آن بخش است.